Question

设A为实数,记函数f(x)=1/2ax^2+x-a,(x属于(根号2,2))的最大值为g(a),求g(a)

Answer 1

此题需对a分情况进行讨论
1. a>0 此时f(x)是一个开口向上的抛物线，x=√2和x=2对应的函数值分别为√2和a+2，由于a>0,易知a+2>√2,故此时g(a)=a+2
2. a=0 此时f(x)=x ，显然g(a)=2
3. a<0 此时f(x)是一个开口向下的抛物线，顶点的横坐标x=-1/a,此处又分三种情况：
1）√2≤-1/a≤2 即:-√2/2≤a≤-1/2 最大值g(a)=f(-1/a)=-1/(2a)-a
2）2≤-1/a 即:-1/2≤a≤0 g(a)=f(2)=a+2
3）-1/a≤√2 即:a≤-√2/2 g(a)=f(√2)=√2

Answer 2

f(x)=(1/2)ax²+x-a,(x∈(√2,2))
f´(x)=ax+1,令f´(x)=0得唯一驻点 x=1/a
f"(x)=a，
当f"(x)=a＞0时，x=1/a为极小值点，因为定义域为开区间，f(x)没有最大值，
当f"(x)=a＜0时，x=1/a为极大值点，也是f(x)的最大值点，g(a)=f(1/a),
所以 g(a)=3/(2a)-a,a＜0