Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有 f(x)≤( x+1 2 ) 2 （1）求f（1）的值；（2）证明：a＞0、c＞0；（3）当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求证：m≤0或m≥1．

Answer 1

（1）由条件可知 x≤f(x)≤ ( x+1 2 ) 2 对任意实数x∈（0、2）恒成立，取x=1得1≤f（1）≤1，故f（1）=1． （2）由f（-1）=0得a-b+c=0，故 b= 1 2 ，a+c= 1 2 ， 由对任意实数x，都有f（x）-x≥0得ax 2 +（b-1）x+c≥0， 所以 a＞0 △=  (b-1) 2   -4ac≤0 ，即 a＞0 △=   1 4  -4ac≤0 ，即 a＞0 ac≥ 1 16 故a＞0，c＞0 （3）由（2）可知 f(x)= 1 4 x 2 + 1 2 x+ 1 4 ， g(x)= 1 4 x 2 + 1 2 x+ 1 4 -mx 在[-1、1]单调， g′(x)= 1 2 x+ 1 2 -m ≥0或≤0在[-1、1]上恒成立， 所以 m≤ ( 1 2 x+ 1 2 ) min =0 或 m≥ ( 1 2 x+ 1 2 ) max =1