Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx，且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx，且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点，（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）+ k x + 1 2 x 2 在 （0， 6 3 ]上是单调减函数，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f（x+1）=a（x+1） 2 +b（x+1）=ax 2 +（2a+b）x+a+b为偶函数， ∴2a+b=0，∴b=-2a， ∴f（x）=ax 2 -2ax，（2分） ∵函数f（x）有且仅有一个不动点， ∴方程f（x）=x有且仅有一个解， ∴ax 2 -（2a+1）x=0有且仅有一个解， ∴2a+1=0，a=- 1 2 ， ∴f（x）=- 1 2 x 2 +x（5分） （2）g（x）=f（x）+ k x + 1 2 x 2 =x+ k x 在（0， 6 3 ]上是单调减函数， 当k≤0时，g（x）=x+ k x 在（0，+∞）上是单调增函数， ∴不成立；（7分） 当k＞0时，g（x）=x+ k x 在（0， k ]上是单调减函数， ∴ 6 3 ≤ k ， ∴k≥ 2 3 （10分） （3）∵f（x）=- 1 2 x 2 +x=- 1 2 （x-1） 2 + 1 2 ≤ 1 2 ， ∴kn≤ 1 2 ， ∴n≤ 1 2k ≤ 3 4 ＜1， ∴f（x）在区间[m，n]上是单调增函数（11分） ∴ f(m)=km f(n)=kn ，即 - 1 2 m 2 +m=km - 1 2 n 2 +n=kn ， 方程 - 1 2 x 2 +x=kx 的两根为0，2-2k（12分） 当2-2k＞0，即 2 3 ≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]（13分） 当2-2k＜0，即k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]（14分） 当2-2k=0，即k=1时，[m，n]不存在（16分）