Question

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，探索并判断四边形CDAN是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；（3）直线y=mx+2与抛物线交于T，Q两点．是否存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）抛物线的顶点坐标为M（1，4），设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
将N（2，3）代入，得a（2-1）²+4=3，解得a=-1，
所以，抛物线解析式为y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3，
令x=0，得y=3，则C（0，3），
令y=0，得x=-1或3，则A（-1，0），B（3，0）；

（2）四边形CDAN是平行四边形．
理由：将C（0，3），M（1，4），代入直线y=kx+t中，得

t＝3 k+t ＝4

，
解得

k＝1 t＝3

，直线CM解析式为y=x+3，则D（-3，0），
∵C（0，3），N（2，3），∴CN∥x轴，且CN=2-0=2，
又∵A（-1，0），D（-3，0），∴AD=-1-（-3）=2，
∴四边形CDAN是平行四边形；

（3）存在．
如图设T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别过T、Q作TF⊥y轴，QG⊥x轴，
联立

y＝?x2+2x+3 y＝mx+2

，解得x²+（m-2）x-1=0，
则x₁+x₂=2-m，x₁x₂=-1，
当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，
则∠TOF+∠FOQ=∠FOQ+∠QOB=90°，
则∠TOF=∠QOB，而∠TFO=∠QGO=90°，
所以，△TOF∽△QOG，

TF

QG

=

OF

OG

，即

?x1

y2

=

y1

x2

，
x₁x₂+y₁y₂=0，-1+（mx₁+2）（mx₂+2）=0，
-1+m²x₁x₂+2m（x₁+x₂）+4=0，
-1-m²+2m（2-m）+4=0，整理，得3m²-4m-3=0，
解得m=

2± 13

3

．