Question

如图所示，从光滑的 1 4 圆弧槽的最高点滑下的小球，滑出槽口时速度为水平方向，槽口与一个半

如图所示，从光滑的 1 4 圆弧槽的最高点滑下的小球，滑出槽口时速度为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，已知圆弧槽的半径为R 1 ，半球的半径为R 2 ．求：（1）小球运动到 1 4 圆弧槽的底部对圆弧槽的底部压力为多少？（2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，则R 1 与R 2 应满足什么关系？（3）若小球刚好不沿半球面下滑，则小球落地时的动能为多少？

Answer 1

（1）小球滑出槽口时速度为v， 根据机械能守恒定律得： m gR 1 = 1 2 mv 2 ① 在槽口时：N-mg= m v 2 R 1 ② 由①②式解得：N=3mg 由牛顿第三定律得：N′=N=3mg   方向：竖直向下 （2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，可知重力恰好或不足以提供向心力而作平抛运动． 即mg ≤m v 2 R 2 ③ 由①③两式联立解得R 1 与R 2 应满足的关系是： R 1 ≥ 1 2 R 2 （3）由机械能守恒得： E k = 1 2 mv 2 +m gR 2 = 3 2 m gR 2 答：（1）小球运动到 1 4 圆弧槽的底部对圆弧槽的底部压力为3mg，方向竖直向下； （2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，则R 1 与R 2 应满足 R 1 ≥ 1 2 R 2 ； （3）若小球刚好不沿半球面下滑，则小球落地时的动能为 3 2 m gR 2 ．