函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意的x∈R,有f(x)>0;②对任意的x,y∈R,都有f(xy)

函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意的x∈R,有f(x)>0;②对任意的x,y∈R,都有f(xy)=[f(x)]y;③f(13)>1.(Ⅰ)求f(0)的值;... 函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意的x∈R,有f(x)>0;②对任意的x,y∈R,都有f(xy)=[f(x)]y;③f(13)>1.(Ⅰ)求f(0)的值; (Ⅱ)求证:f(x)是(-∞,+∞)上的单调递增函数; (Ⅲ)解关于x的不等式:[f(x-2a)](x+1)>1. 展开
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濯曼铌s3
2014-09-16 · 超过55用户采纳过TA的回答
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(1):(1)∵对任意x∈R,有f(x)>0,
∴令x=0,y=2得:f(0)=[f(0)]2?f(0)=1;
(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则令x1=
1
3
P1,x2=
1
3
P2,故p1<p2
∵函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x∈R,有f(x)>0;②对任意x,y∈R,有f(xy)=[f(x)]y;③f(
1
3
)>1

∴f(x1)-f(x2)=f(
1
3
P1)-f(
1
3
P2)=[f(
1
3
)]P1-[f(
1
3
)]P2<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)是R上的单调增函数.
(3)∵解关于x的不等式:[f(x-2a)](x+1)>1=f(0),f(x)是(-∞,+∞)上的单调递增函数,
∴f[(x-2a)x+1]>0,
∴f[(x-2a)(x+1)]=f(x-2a)x+1>0,∵对任意的x∈R,有f(x)>0;
∴(x-2a)(x+1)>0,比较2a与-1的大小
a=?
1
2
时,f(x)的解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞);
a>?
1
2
时,即2a>-1,f(x)的解集为(-∞,-1)∪(2a,+∞);
a<?
1
2
时,即2a<-1,f(x)的解集为(-∞,2a)∪(-1,+∞).
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