Question

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意的x∈R，有f（x）＞0；②对任意的x，y∈R，都有f（xy）

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意的x∈R，有f（x）＞0；②对任意的x，y∈R，都有f（xy）=[f（x）]y；③f(13)＞1．（Ⅰ）求f（0）的值； （Ⅱ）求证：f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增函数； （Ⅲ）解关于x的不等式：[f（x-2a）]（x+1）＞1．

Answer 1

（1）：（1）∵对任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]²?f（0）=1；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则令x₁=

1

3

P₁，x₂=

1

3

P₂，故p₁＜p₂，
∵函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f(

1

3

)＞1
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

1

3

P₁）-f（

1

3

P₂）=[f（

1

3

）]^P₁-[f（

1

3

）]^P₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是R上的单调增函数．
（3）∵解关于x的不等式：[f（x-2a）]^（x+1）＞1=f（0），f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增函数，
∴f[（x-2a）^x+1]＞0，
∴f[（x-2a）（x+1）]=f（x-2a）^x+1＞0，∵对任意的x∈R，有f（x）＞0；
∴（x-2a）（x+1）＞0，比较2a与-1的大小
当a＝?

1

2

时，f（x）的解集为（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
当a＞?

1

2

时，即2a＞-1，f（x）的解集为（-∞，-1）∪（2a，+∞）；
当a＜?

1

2

时，即2a＜-1，f（x）的解集为（-∞，2a）∪（-1，+∞）．