Question

已知函数f（x）=ax+logax，（a＞0，且a≠1）的定义域为[1，2]．（1）若[f（x）]min=5，求实数a的值；（2

已知函数f（x）=ax+logax，（a＞0，且a≠1）的定义域为[1，2]．（1）若[f（x）]min=5，求实数a的值；（2）若f（a）=5，求实数a的值；（3）是否存在实数a，使得f（x）＜a2恒成立？若存在求出a的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上单调递减，
[f（x）]_min=f（2）=a²+log_a2＜a²＜1，不符合要求
当a＞1时，f（x）在[1，2]上单调递增，
[f（x）]_min=f（1）=a+log_a1=a=5；
∴a=5．…．（3分）
（2）由f（a）=5，得a^a+log_aa=5，即a^a=4，
两边取以2为底的对数得alog₂a=2
即log₂a=

2

a

，
令g（x）=log₂x-

2

x

，则g（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以g（x）至多有一个零点，又g（2）=0，
所以a=2．…．（6分）
（3）若f（x）＜a²恒成立
则f（x）_max＜a²，…．（7分）
当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上单调递减，
f（x）_max=f（1）=a+log_a1=a＜a²，
解得a＞1或a＜0，满足要求的a不存在；…．（8分）
当a＞1时，f（x）在[1，2]上单调递增，
f（x）_max=f（2）=a²+log_a2＜a²
即log_a2＜0
解得0＜a＜1，满足要求的a不存在；…．（9分）
综上：满足要求的a不存在．…．（10分）