Question

已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a＞0）（a∈R）（1）若a=0，判断函数的单调性（2）函数f（x）满足f（1）=2，

已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a＞0）（a∈R）（1）若a=0，判断函数的单调性（2）函数f（x）满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（3）当1e＜x＜y＜1时，试比较yx与1+lny1+lnx的大小．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x-xlnx，函数定义域为（0，+∞）．
f^′（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．
x∈（0，1）时，f^′（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．
x∈（1，+∞）时，f^′（x）＜0f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）由f（1）=2，得a=1，所以f（x）=x²+x-xlnx，由f（x）≥bx²+2x，得b≤1?

1

x

?

lnx

x

．
令g(x)＝1?

1

x

?

lnx

x

，可得g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．
∴g（x）_min=g（1）=0
即b≤0；
（3）由（Ⅱ）知g(x)＝1?

1+lnx

x

在（0，1）上单调递减
∴

1

e

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）
即

1+lnx

x

＜

1+lny

y

而

1

e

＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，∴1+lnx＞0
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

．