Question

高数问题，泰勒公式与定积分的结合

Answer 1

(2)f(x)=f'(1)(x-1)+f''(a)/2(x-1)^2

∫f(x)dx=f'(1)/2(x-1)^2+f''(a)/6(x-1)^3
∫(0,2)f(x)dx=f'(1)/2-f'(1)/2+f''(b)/6-f''(c)/6=f''(b)/6-f''(c)/6《b在1到2上，c在0到1上》
记max[0,2]f''(x)为f''(m)
|f''(b)/6-f''(c)/6|<=|f''(b)/6|+|f''(c)/6|<=|f''(m)/6|+|f''(m)/6|=|f''(m)/3|
(3)假设存在点a，使得f'(a)>2
f'(x)=f'(a)-∫(x,a)f''(t)dt 《下限x，上限a》
《x<a时》f''(t)<=1，所以f'(a)-∫(x,a)f''(t)dt>=f'(a)-∫(x,a)1dt=f'(a)-a+x
《x>a时》f''(t)>=-1,f(x)=∫(a,x)f''(t)dt+f'(a)>=∫(a,x)-1dt+f'(a)=f'(a)+a-x
所以f'(x)>=f'(a)-|x-a|
∫(0,2)f'(x)dx= ∫(0,2)[f'(a)-|x-a|]dx= ∫(0,a)[f'(a)-a+x]dx+∫(a,2)[f'(a)-x+a]dx=2f'(a)-2+2a-a^2《因为f'(a)>2所以2f'(a)-2>2，又2a-a^2>0,所以∫(0,2)f'(x)dx>2》
又∫(0,2)f'(x)dx=f(2)-f(0)<=1-(-1)=2矛盾，所以不存在f'(a)>2
同理可假设存在点b，使得f'(b)<-2，推出与∫(0,2)f'(x)dx=f(2)-f(0)>=-1-1=-2矛盾