Question

[(2/π)·arctanx]的x次方用洛必达法则求极限

Answer 1

e^(-2/π)。

x趋于+∞的时候，显然arctanx趋于π/2。

那么2/πarctanx趋于1。

所以

limx→+∞(2/πarctanx)^x

=limx→+∞ e^ [x* ln(2/πarctanx)]

对于

x* ln(2/πarctanx),使用洛必达法则

limx→+∞ x* ln(2/πarctanx)

=limx→+∞ [ln(2/πarctanx)]' / (1/x)'

=limx→+∞ π/(2arctanx) * 2/π *1/ (1+x^2) * -1/x^2

= -1 *limx→+∞ 1/arctanx

= -1 * 2/π

= -2/π

所以原极限=limx→+∞ e^ [x* ln(2/πarctanx)]

=e^(-2/π)

扩展资料：

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

7、利用两个重要极限公式求极限。

Answer 2

e^(-2/π)。

x趋于+∞的时候，显然arctanx趋于π/2。

那么2/πarctanx趋于1。

所以

limx→+∞(2/πarctanx)^x

=limx→+∞ e^ [x* ln(2/πarctanx)]

对于

x* ln(2/πarctanx),使用洛必达法则

limx→+∞ x* ln(2/πarctanx)

=limx→+∞ [ln(2/πarctanx)]' / (1/x)'

=limx→+∞ π/(2arctanx) * 2/π *1/ (1+x^2) * -1/x^2

= -1 *limx→+∞ 1/arctanx

= -1 * 2/π

= -2/π

所以原极限=limx→+∞ e^ [x* ln(2/πarctanx)]

=e^(-2/π)

扩展资料：

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

7、利用两个重要极限公式求极限

Answer 3

很显然，这是1的无穷次幂的形式，对于这种题，我们有通用解答，就是求出底数减1乘以指数的极限，最后加上指数e就好啦~\(≧▽≦)/~，对于这道题，求极限的时候用L'hospital法则一下就ok啦，具体结果在楼下，

追答

再补充一句，记得把x趋于正无穷写上，，~\(≧▽≦)/~

追问

谢谢♥

还有一题可以帮我解答一下不？

追答

嗯~\(≧▽≦)/~当然

追问

追答

看到这种题第一反应应该是通分啦O(∩_∩)O

追问

追答

因为等价无穷小代换时，只能代换因式，也就是几个括号相乘时的括号里面的，

就是这个意思，，

追问

哦(⊙o⊙)哦。。知道了。。谢谢哈

追答

O(∩_∩)O

追问

想问下。。上面那题是怎么化的•﹏•

追答

e∧(x-sinx)－1等价无穷小

因为x－sinx趋向于0

所以可以等价

追问

哎呀。。又忘了。。谢谢😊😊

追答

木事木事(>﹏<)

Answer 4

简单分析一下，答案如图所示