Question

函数的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]上的值域为 [ a 2 ， b

函数的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]上的值域为 [ a 2 ， b 2 ] ，那么就称函数y=f（x）为“成功函数”，若函数 f(x)=lo g c { c x +t)(c＞0，c≠1) 是“成功函数”，则t的取值范围为（　　） A．（0，+∞） B．（-∞，0） C． ( 1 4 ，+∞) D． (0， 1 4 )

Answer 1

因为函数f（x）= lo g c ( c x +t) ，（c＞0，c≠1）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“成功函数”， 且 f（x）在[a，b]上的值域为 [ a 2 ， b 2 ] ， ∴ f(a)= a 2 f(b)= b 2 ，即  log c ( c m +t)= 1 2 a log c ( c n +t)= 1 2 b ， 故 方程 f(x)= 1 2 x 必有两个不同实数根， ∵ lo g c ( c x +t) =  1 2 x 等价于  c x +t  = c x 2 ，等价于   c x   - c x 2 + t =0 ， ∴方程 m 2 -m+t=0 有两个不同的正数根，∴ △=1-4t＞0 t＞0 1＞0 ，∴ t∈(0， 1 4 ) ， 故选D．