Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+ 1 2 ，且 f( 1

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+ 1 2 ，且 f( 1 2 )=0 ，当x＞ 1 2 时，f（x）＞0．（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N * ）；（2）判断函数f（x）的单调性并证明．

Answer 1

（1）令 x=y= 1 2 ，则 f(1)=f( 1 2 )+f( 1 2 )+ 1 2 ，∴ f(1)= 1 2 ， 则当 n∈ N * ，f(n+1)=f(n)+f(1)+ 1 2 ，∴f（n+1）-f（n）=1， ∴{f（n）}是首项为 1 2 ，公差为1的等差数列． ∴f（1）+f（2）+…+f（n）= 1 2 n+ n(n-1) 2 = n 2 2 ； （2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函数． 证明：设x 1 ＜x 2 ，x 1 ，x 2 ∈R， f（x 2 ）-f（x 1 ）=f（x 2 -x 1 +x 1 ）-f（x 1 ）= f( x 2 - x 1 )+f( x 1 )+ 1 2 -f( x 1 ) = f( x 2 - x 1 )+f( 1 2 )+ 1 2 =f( x 2 - x 1 + 1 2 ) ， ∵x 2 ＞x 1 ，∴ x 2 - x 1 + 1 2 ＞ 1 2 ， 由于当 x＞ 1 2 时，f（x）＞0， ∴ f( x 2 - x 1 + 1 2 )＞0 ，即f（x 2 ）＞f（x 1 ）， ∴f（x）在R上是增函数．

Answer 2

(1)由已知可得：f(1)=f(1/2+1/2)=2f(1/2)+1/2=1/2
f(2)=f(1+1)=2f(1)+1/2=3/2
......
f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)+f(1)+1/2=f(n-1)+1
即：f(n)-f(n-1)=1
f(1)、f(2)...f(n)(n∈N*)是以f(1)=1/2为首项的1为公差的等差数列
所以，f(1)+f(2)+……f(n)＝n^2/2