Question

已知：如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF，以点

已知：如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作⊙E交BC于点D．（1）求证：斜边AB是⊙E的切线；（2）设若AB与⊙E相切的切点为G，AC=8，EF=5，连DA、DG，求S △ADG ．

Answer 1

（1）过点E作EG⊥AB于点G，连接EA； ∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°， ∴∠FEA=∠FAE， ∴∠FAE=∠EAC， ∴AE为角平分线， ∴EG=EC， ∴斜边AB是⊙E的切线． （2）连CG与AE相交于点H，由切线长定理得到：AC=AG=8， 由EF=AF=5；得FG=AG-AF=8-5=3， 在Rt△EFG中，根据勾股定理得：EG=CE= E F 2 -F G 2 =4， ∴AE= A C 2 +C E 2 = 4 5 ，又 1 2 AE?GH= 1 2 AG?GE， ∴GH= AG?GE AE = 8 5 5 ，GC=2GH= 16 5 5 ， ∴DG= (2C E) 2 -C G 2 = 8 5 5 ∴S Rt△DGC = 1 2 DG?CG= 64 5 ； 由Rt△DGC的面积为 64 5 ， ∵CD是直径， ∴∠DGC=90°， ∵AG、AC是⊙E切线， ∴AE⊥CG， ∴∠EHC=90°=∠DGC， ∴DG ∥ AE， ∴S △AGD =S △DGE = 1 2 S Rt△DGC = 32 5 ．