Question

（13分）已知椭圆C： （a＞b＞0）的两个焦点分别为F 1 （﹣1，0），F 2 （1，0），且椭圆C经过点 ．（I

（13分）已知椭圆C： （a＞b＞0）的两个焦点分别为F 1 （﹣1，0），F 2 （1，0），且椭圆C经过点 ．（I）求椭圆C的离心率：（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且 ，求点Q的轨迹方程．

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Answer 1

（I） （II）点Q的轨迹方程为10（y﹣2） 2 ﹣3x 2 =18，其中x∈（﹣ ， ），y∈（ ，2﹣ ）

（I）∵椭圆C： （a＞b＞0）的两个焦点分别为F 1 （﹣1，0），F 2 （1，0），且椭圆C经过点 ． ∴c=1，2a=PF 1 +PF 2 = =2 ，即a= ∴椭圆的离心率e= = = …4分 （II）由（I）知，椭圆C的方程为 ，设点Q的坐标为（x，y） （1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2﹣ ） （2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2， 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x 1 ，kx 1 +2），（x 2 ，kx 2 +2），则 ， ，又|AQ| 2 =（1+k 2 ）x 2 ， ∴ ，即 = …① 将y=kx+2代入 中，得（2k 2 +1）x 2 +8kx+6=0…② 由△=（8k） 2 ﹣24（2k 2 +1）＞0，得k 2 ＞ 由②知x 1 +x 2 = ，x 1 x 2 = ，代入①中化简得x 2 = …③ 因为点Q在直线y=kx+2上，所以k= ，代入③中并化简得10（y﹣2） 2 ﹣3x 2 =18 由③及k 2 ＞ 可知0＜x＜ ，即x∈（﹣ ，0）∪（0， ） 由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1， 又由10（y﹣2） 2 ﹣3x 2 =18得（y﹣2） 2 ∈[ ， ）且﹣1≤y≤1，则y∈（ ，2﹣ ） 所以，点Q的轨迹方程为10（y﹣2） 2 ﹣3x 2 =18，其中x∈（﹣ ， ），y∈（ ，2﹣ ）…13分