Question

已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在坐标轴上，直线 y = x ＋1与该椭圆相交于 P 和 Q ，且 OP ⊥ OQ ，|

已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在坐标轴上，直线 y = x ＋1与该椭圆相交于 P 和 Q ，且 OP ⊥ OQ ，| PQ |= ．求椭圆的方程．

Answer 1

， 或

本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分． 解：求椭圆方程为 依题意知，点 P 、 Q 的坐标满足方程组 ① ②                               将②式代入①式，整理得( a 2 ＋ b 2 ) x 2 ＋2 a 2 x ＋ a 2 (1－ b 2 )="0,   " ③           ——2分 设方程③的两个根分别为 x 1 ， x 2 ，那么直线 y = x ＋1与椭圆的交点为 P ( x 1 ， x 1 ＋1)， Q ( x 2 ， x 2 ＋1)．                                        ——3分 由题设 OP ⊥ OQ ,| PQ |= ，可得 整理得 ④ ⑤                                          ——6分 解这个方程组，得    或  根据根与系数的关系，由③式得 (Ⅰ)    或  (Ⅱ)                ——10分 解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得    或    故所求椭圆的方程为 ， 或                ——12分