Question

设函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），证明：ab＜1。

设函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），证明：ab＜1。

Answer 1

证明：由已知 ， ∵0＜a＜b，f（a）＞f（b）， ∴a、b不能同时在区间 上， 又由于0＜a＜b，故必有a∈（0，1）； 若b∈（0，1），显然有ab＜1； 若 ，由f（a）-f（b）＞0， 有-lga-lgb＞0，故lgab＜0， ∴ab＜1。

Answer 2

证明：
∵0＜a＜b，f（a）＞f（b），
∴a、b不能同时大于等于0
又由于0＜a＜b，
∴a∈（0，1）；
（1）若b∈（0，1），显然有ab＜1；
（2）若b∈【1，+∞），由f（a）-f（b）＞0，
有-lga-lgb＞0，故lgab＜0，∴ab＜1
综上述ab＜1

分类讨论，根据不同情况进行分步骤证明。