Question

如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，DE⊥AB于E．已知AE：EB=4：1，CD=2，

如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，DE⊥AB于E．已知AE：EB=4：1，CD=2，求BC的长．

Answer 1

设EB=x，则AE=4x，设CB=y
∵CD是⊙O的切线，由圆的切割线定理得出CD²=CB?CA，
即4=y（y+5x）①（2分）
∵AB是直径，且DE⊥AB于E，
∴DE²=AE?EB=4x?x=4x²（1分）
又EC=x+y，CD=2，∠DEC=90°，
∴DE²+EC²=CD²
即4x²+（x+y）²=4④（2分）
解由①、②组成的方程组，②-①，得
5x²-3xy=0，∴x（5x-3y）=0
∴x=0（舍去）或x=

3

5

y把x=

3

5

y代入①，得
y=-1（舍去）或y=1
∴y=1
∴BC=y=1
答：BC的长为1．（3分）