Question

已知二次函数y=（m-1）x2+（m-3）x-2 （m为常数，且m≠1）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴

已知二次函数y=（m-1）x2+（m-3）x-2 （m为常数，且m≠1）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有交点；（2）当函数图象的对称轴为x=1时，把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，求此时抛物线与y轴的交点；（3）在（2）的情况下，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积．

Answer 1

（1）证明：∵（m-1）x²+（m-3）x-2=0，
△=（m+1）²≥0，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有交点；

（2）解：∵-

b

2a

=

3?m

2(m?1)

=1，
解得：m=

5

3

，
∴y=

2

3

x²-

4

3

x-2=

2

3

（x-1）²-

8

3

，
∴N（0，-2），
∴顶点M（1，-

8

3

），
∴P（0，

2

3

）；

（3）解：由题意可得出：Q（1，0），
围成部分面积利用平移转化成：四边形PQMN的面积，
∴两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积为：1×

8

3

=

8

3

．