Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+12≥f（1-x）+x

定义在R上的函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+12≥f（1-x）+x的解集为______．

Answer 1

∵定义在R上的函数f（x）满足：
f（-x）+f（x）=x²，
两边对x求导，得-f′（-x）+f′（x）=2x，
∴f′（x）=f′（-x）+2x，
令x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，f′（x）＜x，
∴f′（-x）＜-x，
∴f′（x）＜2x-x，即f′（x）＜x，
又f（0）=0，直线y=x过原点，
∴f′（0）≤0，
∴x∈R，都有f′（x）＜x，
令F（x）=f（x）+

1

2

-f（1-x）-x，则
F′（x）=f′（x）+f′（1-x）-1＜x+1-x-1=0，
即F（x）是R上的单调减函数，且F（

1

2

）=0，
∴不等式f（x）+

1

2

≥f（1-x）+x，
即F（x）≥0，即F（x）≥F（

1

2

），
∴x≤

1

2

．
∴原不等式的解集为（-∞，

1

2

]．
故答案为：（-∞，

1

2

]．