已知函数f(x)=ax+lnx-1(a是常数,e≈=2.71828).(1)若x=2是函数f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在
已知函数f(x)=ax+lnx-1(a是常数,e≈=2.71828).(1)若x=2是函数f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a...
已知函数f(x)=ax+lnx-1(a是常数,e≈=2.71828).(1)若x=2是函数f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a=1时,方程f(x)=m在x∈[1e,e2]上有两解,求实数m的取值范围;(3)求证:n∈N*,ln(en)>1+12+13+…+1n.
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(1)f′(x)=
.
因为x=2是函数f(x)的极值点,
所以a=2,则f(x)=
+lnx-1,
则f(1)=1,f'(1)=-1,所以切线方程为x+y-2=0;
(2)当a=1时,f(x)=
+lnx-1,f′(x)=
,其中x∈[
,e2],
当x∈[
,1)时,f'(x)<0;x∈(1,e2]时,f'(x)>0,
∴x=1是f(x)在[
,e2]上唯一的极小值点,∴[f(x)]min=f(1)=0.
又f(
)=e-2,f(e2)=
+lne2-1=
+1,f(
)-f(e2)=e-2-
-1<0,
综上,所求实数m的取值范围为{m|0<m≤e-2};
(3)ln(en)>1+
+
+…+
等价于lnn>
+
+…+
,
若a=1时,由(2)知f(x)=
+lnx在[1,+∞)上为增函数,
当n>1时,令x=
,则x>1,故f(x)>f(1)=0,
即f(
)=
+ln
=-
+ln
>0,∴ln
>
.
故ln
+ln
+…+ln
x-a |
x2 |
因为x=2是函数f(x)的极值点,
所以a=2,则f(x)=
2 |
x |
则f(1)=1,f'(1)=-1,所以切线方程为x+y-2=0;
(2)当a=1时,f(x)=
1 |
x |
x-1 |
x2 |
1 |
e |
当x∈[
1 |
e |
∴x=1是f(x)在[
1 |
e |
又f(
1 |
e |
1 |
e2 |
1 |
e2 |
1 |
e |
1 |
e2 |
综上,所求实数m的取值范围为{m|0<m≤e-2};
(3)ln(en)>1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
若a=1时,由(2)知f(x)=
1-x |
x |
当n>1时,令x=
n |
n-1 |
即f(
n |
n-1 |
1-
| ||
|
n |
n-1 |
1 |
n |
n |
n-1 |
n |
n-1 |
1 |
n |
故ln
2 |
1 |
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