Question

数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2=an（Sn-1）．（1）求证：数列{1Sn}是等差数列；（2）设

数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2=an（Sn-1）．（1）求证：数列{1Sn}是等差数列；（2）设bn=log2SnSn+2，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足Tn≥6的最小正整数n．

Answer 1

解（Ⅰ）∵S_n²=a_n（S_n-1）∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1）（n≥2）
∴S_nS_n-1=S_n-1-S_n，即

1

Sn

?

1

Sn?1

＝1，
∴{

1

Sn

}是1为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn＝

1

n

，∴bn＝log2

n+2

n

，
∴Tn＝log2(

3

1

×

4

2

×

5

3

×

6

4

×…×

n+2

n

)＝log2

(n+1)(n+2)

2

≥6，
∴（n+2）（n+1）≥128∵n∈N+_ 
∴n≥10，
所以满足T_n≥6的最小正整数为10．