Question

已知等比数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，数列{1an}的前n项和为Tn，且S2=3T2，S5?S2＝272(T5?T2)．

已知等比数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，数列{1an}的前n项和为Tn，且S2=3T2，S5?S2＝272(T5?T2)．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列{n?an}的前n项和Rn．

Answer 1

（I）设公比为q，则a₁＞0，q＞0，依题意：
　

a1+a2＝3( 1 a1 + 1 a2 ) a3+a3+a5＝272( 1 a3 + 1 a4 + 1 a5 )

即
　

a1+a1q＝3( 1 a1 + 1 a1q ) a1q2+a1q3+a1q4＝36( 1 a1q2 + 1 a1q3 + 1 a1q4 )

…（2分）
即　

a12q＝3 a12q6＝36

…..（3分）
∵a₁＞0，q＞0，故q=3，a₁=1…..（5分）
∴an＝3n?1…..（6分）
（II）∵Rn＝1+2?3+3?32+…+n?3n?1①
3Rn＝1?3+2?32+…+(n?1)?3n②…（8分）
①-②式有：?2Rn＝1+3+32+…+3n?1?n?3n＝

3n?1?2n?3n

2

∴Rn＝

(2n?1)?3n+1

4

…..（12分）