Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm

如图1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动．当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒，（1）直角梯形ABCD的面积为______cm2．（2）当t=4949秒时，四边形PQCD成为平行四边形？（3）当t=4545秒时，AQ=DC；（4）连接DQ，用含t的代数式表示△DQC的面积为______；（5）是否存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC（如图2所示）？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）如图1，作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形
∴DM=AB=6cm．
在直角△CDM中，CM=

CD2?DM2

=8cm
∴BC=BM+CM=4+8=12cm
∴直角梯形ABCD的面积为

1

2

（AD+BC）?AB=48cm²；
故答案是：48；

（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形
即4-4t=5t解得t=

4

9

；
故答案是：

4

9

；

（3）BQ=12-5t
在直角△ABQ中，AB²+BQ²=AQ²
即6²+（12-5t）²=10²
解得t=

4

5

；
故答案是：

4

5

；

（4）S_△DQC=

1

2

QC?DM=15t；
故答案是：S_△DQC=15t；

（5）存在，t=

7

4

．
如图2，连接QD，则CP=14-4t，CQ=5t
若QP⊥CD，则2S_△DQC=CQ×AB=CD×QP
得QP=3t
在Rt△QPC中
QP²+PC²=CQ²，即（3t）²+（14-4t）²=（5t）²
解之得t=

7

4

，则BC=12
CP=14-4t=7＜10
CQ=5t=

35

4

＜12
所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．