Question

如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥C

如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求证：平面BMN⊥平面PCD．

Answer 1

解答：证明：（1）如图所示，取PD 的中点E，连接AE、EN，
则有EN=

1

2

CD=

1

2

AB=AM，EN∥CD∥AB∥AM，
故AMNE 是平行四边形，
∴MN∥AE，
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AE，即AB⊥MN，
又CD∥AB，
∴MN⊥CD．
（3）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，又∠PDA=45°，E 是PD 的中点，
∴AE⊥PD，即MN⊥PD，
又MN⊥CD，
∴MN⊥平面PCD，
∵MN?平面BMN
∴平面BMN⊥平面PCD．