Question

如图，抛物线L1：y=-x2-2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于M点．将抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2

如图，抛物线L1：y=-x2-2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于M点．将抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．（1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上？请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）令y=0，得-x²-2x+3=0，
∴x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵抛物线L₁向右平移2个单位得抛物线L₂，
∴C（-1，0），D（3，0），a=-1，
∴抛物线L₂为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．

（2）存在．令x=0，得y=3．
∴M（0，3），
∵抛物线L₂是L₁向右平移2个单位得到的，
∴点N（2，3）在L₂上，且MN=2，MN∥AC．
又∵AC=2，
∴MN=AC．
∴四边形ACNM为平行四边形．
同理，L₁上的点N′（-2，3）满足N′M∥AC，N′M=AC．
∴四边形ACMN′是平行四边形．
∴N（2，3）或N′（-2，3）即为所求．

（3）设点P（x₁，y₁）是L₁上任意一点（y₁≠0），
则点P关于原点的对称点Q（-x₁，-y₁），且y₁=-x₁²-2x₁+3，
将点Q的横坐标代入L₂，得y_Q=-x₁²-2x₁+3=y₁≠-y₁，
∴点Q不在抛物线L₂上．