Question

已知抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的

已知抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c， ∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。 又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。 ∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x 2 ＋2x＋3。 （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。 则此时的点P，使△PAC的周长最小。 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得： ，解得： 。 ∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。 （3）存在。点M的坐标为(1， )，(1，－ )，(1，1)，(1，0)。

二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。 【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。 （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。 （3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解： ∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。 ∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA 2 ＝m 2 ＋4，MC 2 ＝m 2 －6m＋10，AC 2 ＝10。 ①若MA＝MC，则MA 2 ＝MC 2 ，得：m 2 ＋4＝m 2 －6m＋10，得：m＝1。 ②若MA＝AC，则MA 2 ＝AC 2 ，得：m 2 ＋4＝10，得：m＝± 。 ③若MC＝AC，则MC 2 ＝AC 2 ，得：m 2 －6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6， 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。 综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1， )，(1，－ )，(1，1)，(1，0)。