Question

已知圆C：x2+y2-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标和圆C的半径；（

已知圆C：x2+y2-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标和圆C的半径；（Ⅱ）求证：直线l过定点；（Ⅲ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值，以及最短长度．

Answer 1

（I）解：圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，可变为：（x-1）²+（y-2）²=5²，
由此可知圆C的圆心C坐标为（1，2），半径为5．
（Ⅱ）证明：由直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0
对于任意实数m，要使上式成立，必须

2x+y?7＝0 x+y?4＝0.

解得：

x＝3 y＝1.

…（6分）
所以直线l过定点A（3，1）．
（Ⅲ）解：直线l被圆C截得的弦最长时，圆心（1，2）在直线l上，圆C截得的弦为直径；当圆心C（1，2）与A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短
此时(?

1

2

)×(?

2m+1

m+1

)＝?1，∴m＝?

3

4

∵CA=

5

，圆的半径为5，
∴直线l被圆C截得的弦最短弦长为2

25?5

=4

5

．