Question

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意x 1 ，x 2 ∈D有f（x 1 ?x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ）（1）求

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意x 1 ，x 2 ∈D有f（x 1 ?x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ）（1）求f（1），f（-1）的值．（2）判断f（x）的奇偶性并证明．（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

（1）∵对任意x 1 ，x 2 ∈D有f（x 1 ?x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ） 令x 1 =x 2 =1，则f（1?1）=f（1）+f（1） 解得f（1）=0 令x 1 =x 2 =-1，则f（-1?-1）=f（-1）+f（-1） 解得f（-1）=0 （2）f（x）为偶函数，证明如下： 令x 1 =-1，x 2 =x， 则f（-x）=f（-1）+f（x）， 即f（-x）=f（x）， 即f（x）为偶函数 （3）∵f（4）=1， ∴f（64）=3f（4）=3， 由f（3x+1）+f（2x-6）≤3得 f（3x+1）+f（2x-6）≤f（64） ∵f（x）为偶函数双，又因为f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴|（3x+1）?（2x-6）|≤64，且3x+1≠0，2x-6≠0， 解各 - 7 3 ≤x≤5且x≠ - 1 3 ，x≠3 ∴x的取值范围为{x| - 7 3 ≤x≤5且x≠ - 1 3 ，x≠3}