Question

已知数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+in（n+1）（i为常数）（1）证明：{ann}是等差数列；（2）若{an}

已知数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+in（n+1）（i为常数）（1）证明：{ann}是等差数列；（2）若{an}是正数组成d数列，试给出不依赖于nd一个充分必要条件，使五数列{an}是等差数列，并说明理由．（3）问是否存在正整数p，q（p≠q）使ap=aq成立？若存在，请写出i满足d条件，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴

an+1

n+1

＝

an

n

+c，即

an+1

n+1

?

an

n

＝c
从而数列{

an

n

}是首项为1，公差为c的等差数列
（x）由（1）可人 

an

n

=1+（n-1）c，即a_n=cn^x+（1-c）n
{

an

}是等差数列的充要条件是

an

＝an+b
即a^xn^x+xabn+b^x=n^x+（1-c）n
∴c=1
（3）若要使存在正整数p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，
则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-

1

c

，又p+q≥3
令p+q=d（d∈N且d≥3），则c=

1

1?d

（d∈N且d≥3）．