Question

（2014?兴化市一模）如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、P

（2014?兴化市一模）如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．（1）BE与EF相等吗？并说明理由；（2）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．（3）求AFFC的值．

Answer 1

（1）BE=EF，
理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A为弧BP中点，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；

（2）小李的发现是正确的，
理由是：延长BA、CP，两线交于G，
∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，
∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，
在△PCF和△PBG中，

∠PCF＝∠PBG PC＝BP ∠CPF＝∠BPG

∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF=BG，
∵BC为直径，
∴∠BAC=°，
∵A为弧BP中点，
∴∠GCA=∠BCA，
在△BAC和△GAC中

∠CAB＝∠CAG AC＝AC ∠BCA＝∠GCA

∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG=AB=

1

2

BG，
∴CF=2AB；

（3）连接OA交BP于H，
∵A为弧BP的中点，
∴OA⊥BP，
∵∠BPC=90°，
∴OA∥CP，
∴△AHF∽△CPF，
∴

AF

CF

=

AH

CP

，
设OA=r，BC=2r，
∵BP=CP，∠BPC=90°，
∴PC=

2

r，
∵OA∥CP，BO=OC，
∴OH=

1

2

CP=

2

2

r，AH=