已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx．（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；（2）若关于x的方
已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx．（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；（2）若关于x的方程g(x)x2＝f(x)?2e（e为自然对数...
已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx．（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；（2）若关于x的方程g(x)x2＝f(x)?2e（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值．
展开
1个回答
展开全部
（1）解：函数F(x)＝f(x)+g(x)＝x+
+lnx的定义域为（0，+∞）．
∴F′(x)＝1?
+
=
．
①当△=1+4a≤0，即a≤?
时，得x2+x-a≥0，则F′（x）≥0．
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）
②当△=1+4a＞0，即a＞?
时，令F′（x）=0，得x2+x-a=0，
解得x1＝
＜0，x2＝
．
（ⅰ）若?
＜a≤0，则x2＝
≤0．
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，则x∈(0，
)时，F′（x）＜0；x∈(
| a |
| x |
∴F′(x)＝1?
| a |
| x2 |
| 1 |
| x |
| x2+x?a |
| x2 |
①当△=1+4a≤0，即a≤?
| 1 |
| 4 |
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）
②当△=1+4a＞0，即a＞?
| 1 |
| 4 |
解得x1＝
?1?
| ||
| 2 |
?1+
| ||
| 2 |
（ⅰ）若?
| 1 |
| 4 |
?1+
| ||
| 2 |
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，则x∈(0，
?1+
| ||
| 2 |
?1+
|
