Question

已知函数f(x)={2x^3+3x^2+m,0<=x<=1

mx+5,x>1 若函数f（x）的图像与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为

Answer 1

在[0 , 1]区间,f(x)=2x³+3x²+m,
f'(x)=6x²+6x=6x(x+1)>=0,
即f(x)在此区间单调增,至多与x轴只有一个交点
f(0)=m, f(1)=5+m
在x>1区间, f(x)=mx+5, 在此区间内单调,与x轴也至多只有一个交点
由于f(x)与x轴有2个交点,因此只能是一个在区间[0, 1], 另一个在x>1,
显然m不能为0.
在[0 , 1], 须有 m<0<5+m, 得:-5<m<0
在x>1, 由mx+5=0, 得x=-5/m >1, 得-5<m<0
综合得m的取值范围是(-5, 0)