Question

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1）在 x∈[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=g(x)x．（1）求a

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1）在 x∈[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=g(x)x．（1）求a，b的值；（2）在[-1，1]上，都有f（2x）-k?2x≥0成立，则k的取值范围．

Answer 1

（1）g（x）=a（x-1）²+1+b-a
当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数
故

g(3)＝4 g(2)＝1

，解得

a＝1 b＝0

，
当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数
故

g(3)＝1 g(2)＝4

，解得：

a＝?1 b＝3

，
∵b＜1，
∴a=1，b=0；
（2）由（1）即g（x）=x²-2x+1，
f（x）=x+

1

x

-2，
方程f（2x）-k?2^x≥0化为：
2^x+

1

2x

-2≥k?2^x，1+(

1

2x

)2-2?

1

2x

≥k，
令

1

2x

=t，k≤t²-2t+1，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

2

，2]，
记φ（t）=t²-2t+1∴φ（t）_min=0，
∴k∈（-∞，0]．