Question

如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数为

Answer 1

设N=a²-b²=(a+b)(a-b)
1)当N为奇数2k+1时，令a+b=N, a-b=1
得：a=(N+1)/2, b=(N-1)/2
2)当N=4k时,令a+b=2k, a-b=2, 则a=k+1, b=k-1, 只要k>1, 则a, b为正整数；
3)当N=4k+2时，由于两奇数（或两偶数)的平方差能补4整除，一奇一偶数的平方差能被4除余1或3，因此N=4k+2不可能表示为两整数的平方差。

综合得可表为两正整数平方差的正整数为形式：4k,2n+1,这里k>1，n>0.

Answer 2

这里的正整数是不包括0的吧～
如果不包括0的话－－
任何大于等于3的奇数都是智慧数：
2k+1=(k+1)^2-k^2 其中k>=1，于是2k+1>=3
任何大于等于8的能被4整除的数都是智慧数：
4(k+1)=(k+2)^2-k^2 其中k>=1,于是4(k+1)>=8
除此之外没有其他智慧数了
因为除此外剩下的就是不能被4整除的偶数了，而
(a+k)^2-a^2=2ak+k^2 其中a>=1,k>=1，则2ak+k^2为智慧数
若k为奇数，由于2ak为偶数，k^2为奇数，则智慧数为奇数
若k为偶数，于是2ak和k^2均能被4整除，则智慧数能被4整除
所以智慧数列是由
3，5，7，9，11，………… 和
8，12，16，20，24，…………
从小到大合并而成，即3,5,7,8,9,11,12,…………
设第2003个智慧数是n，则
[(n-3)/2+1]+[(n-8)/4+1]=2003
其中[..]表示不超过..的最大正整数
[(n-3)/2+1]表示3到n的正整数个数
[(n-8)/4+1]表示8到n的能被4整除的正整数个数
解方程得 n=2673 （求解时可去掉[..]，再进行修正）
最后答案是 2673

(为了使你明白已经说得很详细，详细得有些过分了，如果答案有误请告诉我，呵呵，希望你能满意）

Answer 3

9？9=5*5-4*4.