Question

一道初中奥数题 100分求解

在一个房间里,地板是长方形的,由正方形的小格子拼成,在地板左下角和右上角各有一个老鼠洞.一天晚上,老鼠从其中的一个洞直线跑到另一个洞(也就是对角线).问:老鼠经过了多少个格子?(设长为a个格子,宽为b个格子,列出一个公式表达老鼠经过的格子,要能用于所有的长方形)
回1楼:a+b-1我想出来过,在很多长方形都行,不过如果长和宽都是偶数就不行,或者2个数字有约数和倍数的关系

Answer 1

a+b-(a,b)，其中(a,b)指的是a和b的最大公约数(greatest common divisor)。

(1)假设a和b互素，即(a,b)=1。

可以证明，老鼠在到达终点之前，是不可能越过一个交界点的。这里的交界点指的是横格线和竖格线的交叉点。

这里用反证法，假设在老鼠的途中越过一个交叉点。设此时老鼠走了c横格，d竖格。则根据相似形，c/d=a/b，由于a与b互素，c和d不可能比a或者b小，这就矛盾了。

因此，除去终点，老鼠在途中不经过横竖交叉点。老鼠途中每穿过1横格线，就进入一个新的格子；同理，老鼠途中每穿过1竖格线，就进入一个新的格子。老鼠总共穿过a个横格，b个竖格，再扣除最后一个到达终点时重复计算的横格线和竖格线，总共穿过的格子数目是a+b-1。

(2)假设a和b不互素，设(a,b)是a和b的最大公约数。

考虑c=a/(a,b)和d=b/(a,b)这两个整数，它们是互素的。你可以想象把尺寸为a*b的格子盘的对角线等距截成(a,b)段，每段都正好是尺寸为c*d的格子盘的对角线（画个图你就明白了）。

因此，老鼠相当于在c*d的格子盘里走对角线，然后重复了这个步骤(a,b)遍。由于c和d互素，根据(1)的结论，老鼠每次会穿过c+d-1个格子，重复(a,b)遍后的总数是（这些格子在计数的时候不重复）

(c+d-1)*(a,b)=c*(a,b)+d*(a,b)-(a,b)=a+b-(a,b)。

Answer 2

我越看越觉得是用100分吸引人 这一唱一合地变相做广告。。。如果我猜对了 请把这100分给我吧

Answer 3

a^2 + b^2 = 对角线^2 - -老鼠经过的格子