Question

二项式定理题目的解题方法

Answer 1

var script = document.createElement('script'); script.src = 'http://static.pay.baidu.com/resource/baichuan/ns.js'; document.body.appendChild(script);

2
10
2
1
10
3
4
3
4
1
10
10
(
)
(
)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
x
C
x









，由题意
10
2
3,
6
4
3
r
r
r





解得
，

则含有
3
x
的项是第
7
项
6
3
3
6
1
10
210
T
C
x
x



,
系数为
210
。

练：求
2
9
1
(
)
2
x
x

展开式中
9
x
的系数？

解：
2
9
18
2
18
3
1
9
9
9
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x
C
x
x











，令
18
3
9
r


,
则
3
r


故
9
x

的系数为
3
3
9
1
21
(
)
2
2
C



。

题型三：利用通项公式求常数项；

例：求二项式
2
10
1
(
)
2
x
x

的展开式中的常数项？

解：
5
20
2
10
2
1
10
10
1
1
(
)
(
)
(
)
2
2
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x






，令
5
20
0
2
r


，得
8
r


，所以
8
8
9
10
1
45
(
)
2
256
T
C



练：求二项式
6
1
(2
)
2
x
x

的展开式中的常数项？

解：
6
6
6
2
1
6
6
1
1
(2
)
(
1)
(
)
(
1)
2
(
)
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x








，
令
6
2
0
r


，
得
3
r

，
所以
3
3
4
6
(
1)
20
T
C





练：若
2
1
(
)
n
x
x

的二项展开式中第
5
项为常数项，则
____.
n


解：
4
2
4
4
4
2
12
5
1
(
)
(
)
n
n
n
n
T
C
x
C
x
x




，令
2
12
0
n


，得
6
n

.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

例：求二项式
9
3
(
)
x
x

展开式中的有理项？

解：
1
27
1
9
3
6
2
1
9
9
(
)
(
)
(
1)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
x
C
x








，令
27
6
r
Z


,(
0
9
r


)
得
3
9
r
r


或
，

所以当
3
r


时，
27
4
6
r


，
3
3
4
4
4
9
(
1)
84
T
C
x
x




，

当
9
r


时，
27
3
6
r


，
3
9
3
3
10
9
(
1)
T
C
x
x




。

题型五：奇数项的二项式系数和
=
偶数项的二项式系数和；

例：若
2
3
2
1
(
)
n
x
x

展开式中偶数项系数和为
256

，求
n
.

解：设
2
3
2
1
(
)
n
x
x

展开式中各项系数依次设为
0
1
,
,
,
n
a
a
a


1
x


令
,
则有
0
1
0,
n
a
a
a




①，
1
x

令
,
则有
0
1
2
3
(
1)
2
,
n
n
n
a
a
a
a
a








②

将①
-
②得：
1
3
5
2(
)
2
,
n
a
a
a






1
1
3
5
2
,
n
a
a
a









有题意得，
1
8
2
256
2
n






，
9
n


。

练：若
3
5
2
1
1
(
)
n
x
x

的展开式中，所有的奇数项的系数和为
1024
，求它的中间项。

解：
0
2
4
2
1
3
2
1
1
2
r
r
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C

















，
1
2
1024
n



，解得
11
n


所以中间两个项分别为
6,
7
n
n



，
5
6
5
4
3
5
5
1
2
1
1
(
)
(
)
462
n
T
C
x
x
x






，
61
15
6
1
462
T
x





题型六：最大系数，最大项；

例：已知
1
(
2
)
2
n
x

，若展开式中第
5
项，第
6
项与第
7
项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最
大项的系数是多少？

解：
4
6
5
2
2
,
21
98
0,
n
n
n
C
C
C
n
n







解出
7
14
n
n


或
，
当
7
n

时，
展开式中二项式系数最大的项是
4
5
T
T

和
3
4
3
4
7
1
35
(
)
2
,
2
2
T
C



的系数

，
4
3
4
5
7
1
(
)
2
70,
2
T
C


的系数
当
14
n

时，展开式中二项式系数
最大的项是
8
T

，
7
7
7
8
14
1
C
(
)
2
3432
2
T



的系数
。

练：在
2
(
)
n
a
b

的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数
2
n

，则中间一项的二项式系数最大，即
2
1
1
2
n
n
T
T



，也就是第
1
n

项。

练：在
3
1
(
)
2
n
x
x

的展开式中，只有第
5
项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

解：只有第
5

项的二项式最大，则
1
5
2
n


，即
8
n

,

所以展开式中常数项为第七项等于
6
2
8
1
(
)
7
2
C


例：写出在
7
(
)
a
b

的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数
7
是奇数，所以中间两项
(
4,5
第
项
)
的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有
3
4
3
4
7
T
C
a
b


的系数最小，
4
3
4
5
7
T
C
a
b

系数最大。

例：若展开式前三项的二项式系数和等于
79

，求
1
(
2
)
2
n
x

的展开式中系数最大的项？

解：由
0
1
2
79,
n
n
n
C
C
C



解出
12
n

,
假设
1
r
T


项最大，
12
12
12
1
1
(
2
)
(
)
(1
4
)
2
2
x
x





1
1
1
12
12
1
1
1
2
12
12
4
4
4
4
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A
A
C
C
A
A
C
C





















，化简得到
9.4
10.4
r


，又
0
12
r



，
10
r


，展开式中系
数最大的项为
11
T
,

有
12
10
10
10
10
11
12
1
(
)
4
16896
2
T
C
x
x



练：在
10
(1
2
)
x

的展开式中系数最大的项是多少？

解：假设
1
r
T

项最大，
1
10
2
r
r
r
r
T
C
x





1
1
10
10
1
1
1
1
2
10
10
2
2
2(11
)
1
2(10
)
2
2
,
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
C
C
A
A
r
r
A
A
r
r
C
C





























解得
，
化简得到
6.3
7.3
k


，
又
0
10
r



，
7
r


，展开式中系数最大的项为
7
7
7
7
8
10
2
15360
.
T
C
x
x



题型七：含有三项变两项；

例：求当
2
5
(
3
2)
x
x


的展开式中
x
的一次项的系数？

解法①：
2
5
2
5
(
3
2)
[(
2)
3
]
x
x
x
x





，
2
5
1
5
(
2)
(3
)
r
r
r
r
T
C
x
x




，当且仅当
1
r

时，
1
r
T

的展开式中才
有
x
的一次项，此时
1
2
4
1
2
5
(
2)
3
r
T
T
C
x
x




，所以
x
得一次项为
1
4
4
5
4
2
3
C
C
x

它的系数为
1
4
4
5
4
2
3
240
C
C

。

解法②：
2
5
5
5
0
5
1
4
5
0
5
1
4
5
5
5
5
5
5
5
5
(
3
2)
(
1)
(
2)
(
)(
2
2
)
x
x
x
x
C
x
C
x
C
C
x
C
x
C















故展开式中含
x
的项为
4
5
5
4
4
5
5
5
2
2
240
C
xC
C
x
x


，故展开式中
x
的系数为
240.

练：求式子
3
1
(
2)
x
x


的常数项？

解：
3
6
1
1
(
2)
(
)
x
x
x
x




，设第
1
r


项为常数项，则
6
6
2
6
1
6
6
1
(
1)
(
)
(
1)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x







，
得
6
2
0
r


,
3
r

,
3
3
3
1
6
(
1)
20
T
C






.
题型八：两个二项式相乘；

例：
3
4
2
(1
2
)
(1
)
x
x
x


求
展开式中
的系数
.

解：
3
3
3
(1
2
)
(2
)
2
,
m
m
m
m
m
x
x
x






的展开式的通项是
C
C

4
4
4
(1
)
C
(
)
C
1
,
0,1,2,3,
0,1,2,3,4,
n
n
n
n
n
x
x
x
m
n








的展开式的通项是
其中

3
4
2,
0
2,
1
1,
2
0,
(1
2
)
(1
)
m
n
m
n
m
n
m
n
x
x










令
则
且
且
且
因此

2
0
0
2
2
1
1
1
1
2
2
0
0
3
4
3
4
3
4
2
(
1)
2
(
1)
2
(
1)
6
x
C
C
C
C
C
C
















的展开式中
的系数等于
.

练：
6
10
3
4
1
(1
)
(1
)
x
x


求
展开式中的常数项
.

解：
4
3
6
10
3
3
4
12
6
10
6
10
4
1
(1
)
(1
)
m
n
m
n
m
n
m
n
x
C
x
C
x
C
C
x
x








展开式的通项为

0,
3,
6,
0,1,
2,
,6,
0,1,
2,
,10,
4
3
,
0,
4,
8,
m
m
m
m
n
m
n
n
n
n




















其中
当且仅当
即
或
或

0
0
3
4
6
8
6
10
6
10
6
10
4246
C
C
C
C
C
C






时得展开式中的常数项为
.

练：
2
*
3
1
(1
)(
)
,
2
8,
______.
n
x
x
x
n
N
n
n
x







已知
的展开式中没有常数项
且
则

解：
3
4
3
1
(
)
C
C
,
n
r
n
r
r
r
n
r
n
n
x
x
x
x
x








展开式的通项为
通项分别与前面的三项相乘可得

4
4
1
4
2
C
,C
,C
,
,2
8
r
n
r
r
n
r
r
n
r
n
n
n
x
x
x
n











展开式中不含常数项

4
4
1
4
2
4,8
3,7
2,6,
5.
n
r
n
r
n
r
n
n
n
n











且
且
，即
且
且

题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；

例：
2006
(
2)
,
,
2
,
_____.
x
x
S
x
S



在
的二项展开式中
含
的奇次幂的项之和为
当
时

解：
2006
1
2
3
2006
0
1
2
3
2006
(
2)
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x







设
=
-------
①

2006
1
2
3
2006
0
1
2
3
2006
(
2)
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x








=
-------
②

3
5
2005
2006
2006
1
3
5
2005
2(
)
(
2)
(
2)
a
x
a
x
a
x
a
x
x
x










①
②得

2006
2006
2006
1
(
2)
(
)
[(
2)
(
2)
]
2
x
S
x
x
x






展开式的奇次幂项之和为

3
2006
2
2006
2006
3008
1
2
2
,
(
2)
[(
2
2)
(
2
2)
]
2
2
2
x
S










当
时

题型十：赋值法；

例：设二项式
3
1
(3
)
n
x
x

的展开式的各项系数的和为
p
，所有二项式系数的和为
s
,
若

272
p
s


,
则
n
等于多少？

解：若
2
3
0
1
2
1
(3
)
n
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
x







，有
0
1
n
P
a
a
a





，
0
2
n
n
n
n
S
C
C





，

令
1
x

得
4
n
P

，又
272
p
s


,
即
4
2
272
(2
17)(2
16)
0
n
n
n
n






解得
2
16
2
17(
)
n
n



或
舍去
，
4
n


.

练：若
n
x
x









1
3
的展开式中各项系数之和为
64
，则展开式的常数项为多少？

解：令
1
x


，则
n
x
x









1
3
的展开式中各项系数之和为
2
64
n

，所以
6
n


，则展开式的常数项为
3
3
3
6
1
(3
)
(
)
C
x
x


540


.

例：
2009
1
2
3
2009
2009
1
2
0
1
2
3
2009
2
2009
(1
2
)
(
),
2
2
2
a
a
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
x
R












若
则
的值为

解：
2009
2009
1
2
1
2
0
0
2
2009
2
2009
1
,
0,
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
x
a
a












令
可得

2009
1
2
0
2
2009
0
1,
1.
2
2
2
a
a
a
x
a







在令
可得
因而

练：
5
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
(
2)
,
____.
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
a
a
a
a












若
则

解：
0
0
1
2
3
4
5
0
32,
1
1,
x
a
x
a
a
a
a
a
a











令
得
令
得

1
2
3
4
5
31.
a
a
a
a
a







题型十一：整除性；

例：证明：
2
2
*
3
8
9(
)
n
n
n
N




能被
64
整除

证：
2
2
1
1
3
8
9
9
8
9
(8
1)
8
9
n
n
n
n
n
n













0
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
8
8
8
8
8
9
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
n


















0
1
1
1
2
1
1
1
8
8
8
8(
1)
1
8
9
n
n
n
n
n
n
C
C
C
n
n















0
1
1
1
2
1
1
1
8
8
8
n
n
n
n
n
n
C
C
C











由于各项均能被
64
整除
2
2
*
3
8
9(
)
64
n
n
n
N





能被
整除