1平方+2平方+3平方+.+n平方怎么算
平方和公式:1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6.
推理如下:
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×2+1
... ...
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
以上n个式子相加,得
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+(1+1+1+...+1)
即(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3[n(n+1)/2]+n
∴3S=(n+1)³-1-3n(n+1)/2-(n+1)
即S=n(n+1)(2n+1)/6。
扩展资料:
相关公式:
(1)(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³的推导过程如下:
(a-b)³
=(a-b)(a-b)²(分解成两个因式相乘)
=(a-b)(a²-2ab+b²)(把(a-b)²用乘法表达出来)
=a³-3a²b+3ab²-b³(依次相乘得到最后结果)
(2)(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(3)a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)
(4)a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)
=(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²)
n+(n+n-1)+(n+n-1+n-2)+...+(n+n-1+n-2+n-3+...+2+1)
n+(n+n-1)+(n+n-1+n-2)+...+(n+n-1+n-2+n-3+...+2+1)
三个相加等于
2n+1+(4n+2)+(6n+3)+....+n(2n+1)
=(2n+1)(1+2+3+...+n)
=(2n+1)(1+n)n·(1/2)
因为是三个式子相加最后还要乘以1/3才是答案
=(2n+1)(1+n)n·(1/2)·(1/3)
推理如下:
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×2+1
... ...
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
以上n个式子相加,得
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+(1+1+1+...+1)
即(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3[n(n+1)/2]+n
∴3S=(n+1)³-1-3n(n+1)/2-(n+1)
即S=n(n+1)(2n+1)/6。
扩展资料:
相关公式:
(1)(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³的推导过程如下:
(a-b)³
=(a-b)(a-b)²(分解成两个因式相乘)