Question

椭圆x2/100+y2/64=1的两个焦点分别是F1,F2,点P是椭圆上任意一点,PF1⊥PF2,求三角形F1PF2的面积

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Answer 1

解法1:若PF1⊥PF2 ，点P不可能是椭圆上任意一点。
由椭圆方程可知:长半轴a=10，短半轴b=8，焦距c=6
若PF1⊥PF2 ，则椭圆与以F1F2为直径的圆有交点
圆过椭圆上下顶点时交点最少为两个，此时c=b
当c>b时有4个交点，c<b时无交点。
由上c=6<b=8。即以F1F2为直径的圆与椭圆无交点，亦即满足PF1⊥PF2 的点P不存在。故题目无解。
解法2:由椭圆定义有:|PF1|+|PF2|=2a=20 ①
由PF1⊥PF2 有:|PF1|^2+|PF2|^2=(2c)^2=144 ②
式①^2-②得:2|PF1||PF2|=20^2-144=256
(|PF1|-|PF2|)^2=(|PF1|+|PF2|)^2-4|PF1||PF2|=20^2-2×256=-112<0
故|PF1|、|PF2|无解，满足题意的点P不存在。