Question

已知x=4-√3,试求(x∧4-6x∧3-2x∧2+18x+23)/x²-8x+15的值

急，在线等

Answer 1

解：
(x⁴-6x³-2x²+18x+23)/(x²-8x+15)
=(x⁴-8x³+15x²+2x³-16x²+30x-x²+8x-15-20x+38)/(x²-8x+15)
=[x²(x²-8x+15)+2x(x²-8x+15)-(x²-8x+15)-20x+38]/(x²-8x+15)
=[(x²-8x+15)(x²+2x-1)-20x+38]/(x²-8x+15)
=x²+2x-1 -[6(x-3)+4(x-5)]/[(x-3)(x-5)]
=(x+1)²-2 -6/(x-5) -4/(x-3)
=(4-√3+1)² -2 -6/(4-√3-5) -4/(4-√3-3)
=(5-√3)² -2 +6/(√3+1) +4/(√3-1)
=25-10√3+3-2 +6(√3-1)/2 +4(√3+1)/2
=25-10√3+3-2+3√3-3+2√3+2
=25-5√3

解题思路：
1、此类题目，由于x为无理数，且形式复杂，因此，应尽量化简，便于减小最后代入数值时的计算量。
2、对于本题，先在分子上构造因式x²-8x+15，分离出尽量多的项。注意：最后剩下的-20x+38，可以变形为-6(x-3)-4(x-5)，和分母上的因式约分，进一步化简，从而简化计算。

Answer 2

由x=4-√3得：√3=4-x，两边平方得到3=x²-8x+16，所以x²-8x+15=2。
分子x^4-6x³-2x²+18x+23=x^4-8x³+15x²+2x³-17x²+18x+23
=x²(x²-8x+15)+2x³-17x²+18x+23=2x²+2x³-17x²+18x+23=2x³-15x²+18x+23
=2x³-16x²+30x+x²-12x+23=2x(x²-8x+15)+x²-12x+23=4x+x²-12x+23
=x²-8x+23=x²-8x+15+8=2+8=10。
所以原式=10/2=5。

Answer 3

答案是5，过程如下
4-x=√3
两边平方 x^2-8x+13=0
(X^4-6X^3-2X^2+18X+23)/(X^2-8X+15)
=x^2+2x-1-(20x-38)/(x^2-8x+13+2)
=x^2-8x+18
=x^2-8x+13+5
=5

追问

能把倒数第四行写详细点吗

追答

x^4-6x^3-2x^2+18x+23
=x^2(x^2-8x+13)+2x^3-15x^2+18x+23
=2x(x^2-8x+13)+x^2-8x+23
=x^2-8x+23
=x^2-8x+13+10=10
所以：(x^4-6x^3-2x^2+18x+23)/(x^2-8x+15)=10/2=5