Question

不定方程组求整数解

不定方程组，求整数解。

10a+b-10c-d=100
{
a+b+c+d=45

Answer 1

无限组解 如：当a-c=9时。
a b c d
10 22 1 12
11 21 2 11
12 20 3 10
13 19 4 9
14 18 5 8
······

根据10（a-c)+(b-d)=100
b-d=10*(10-a+c)
所以10|b-d
即可以b=10n+d
设a-c=X则a=c+X
a+b+c+d=c+X+10n+d+c+d=2c+2d+X+10n=45
X=45-10n-2c-2d=45-2(5n+c+d)
所以X为奇数。
同时，由10|b-d得到b和d的个位数相同。
由10a+10b+10c+10d=450与10a+b-10c-d=100相加，得出20a+11b+9d=550
20a+9d=11*(50-b)
∴11|20a+9d
由原不定方程组两式相减得：9a-11c-2d=55
9a-2d=11*(5+c)
∴11|9a-2d
则11|36a-8d
则有11|56a+d
即11|55a+a+d
∴11|a+d

综上得出3个条件：
b与d个位数字相同；
a-c的值是奇数；
a+d能被11整除。
原不定方程组的解有无限组，但都满足这三个条件。