Question

用三阶泰勒公式求³√30的近似值，高等数学

Answer 1

设f(x)=x^(1/3)

f(x)=3+1/27·x-1/2187·x^2+5/531441·x^3+O(x^3)

∴f(30)=3+1/27×(30-27)-1/2187×(30-27)^2+5/531441×(30-27)^3≈3.1072

即30^(1/3)≈3.1072

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。

1717年，泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑，在已知函数某一点各阶导数的前提下，泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。

Answer 2

可以考虑泰勒公式，答案如图所示

Answer 3

显然3^3=27最接近30，所以选择在x=3处进行泰勒展开
设f(x)=x^(1/3)
f(x)=3+1/27·x-1/2187·x^2+5/531441·x^3+O(x^3)
∴f(30)=3+1/27×(30-27)-1/2187×(30-27)^2+5/531441×(30-27)^3≈3.1072
即30^(1/3)≈3.1072

追问

设f(x)=x^(1/3)
f(x)=3+1/27·x-1/2187·x^2+5/531441·x^3+O(x^3)

这里看不懂

追答

按公式展开
f（x）=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2·f''(x0)(x-x0)^2+1/6·f'''(x0)(x-x0)^3+O[(x-x0)^3]

Answer 4

30=27+3=27(1+1/9)

(30)^(1/3)=3 (1+1/9)^(1/3)

Answer 5

30^(1/3)=
3*[(10/9)^(1/3)]=
3*[(1+1/9)^(1/3)]=
3*[1+1/27-2/9/2/9+
10/27/6/27]=
3+1/9-1/27+5/729
=83/27+5/729
=3.0809327846

追答

算错了

30^(1/3)=
3*[(10/9)^(1/3)]=
3*[(1+1/9)^(1/3)]=
3*[1+1/27-2/9/2/81+10/27/6/729]=
3+1/9-1/243+
5/19683
=3.1072499111

追问

能不能说明用了什么公式，怎么用，因为刚刚学嘛，你写的完全看不懂

追答

(1+x)^a在0点的泰勒展开