Question

用分部积分法求te^-2tdt的不定积分

用分部积分法求te^-2tdt的不定积分

Answer 1

∫e^xsinxdx

=∫sinxd(e^x)

=e^xsinx-∫e^xd(sinx)

=e^xsinx-∫e^xcosxdx

=e^xsinx-∫cosxd(e^x)

=e^xsinx-e^xcosx+∫e^xd(cosx)

=e^xsinx-e^xcosx-∫e^xsinxdx

∴2∫e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosx

∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2

令t=-x

∫e^-xcosxdx

=∫e^tcos(-t)d(-t)

=-∫e^tcostdt

=-∫costd(e^t)

=-[e^tcost-∫e^td(cost)]

=-(e^tcost+∫e^tsintdt)

=-[e^tcost+∫sintd(e^t)]

=-[e^tcost+e^tsint-∫e^td(sint)]

=-(e^tcost+e^tsint-∫e^tcostdt)

∴2∫e^tcostdt=e^tcost+e^tsint

∫e^tcostdt=e^t(cost+sint)/2

即

∫e^-xcosxdx==-∫e^tcostdt=-e^t(cost+sint)/2=e^(-x)(sinx-cosx)/2

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2