Question

如图,抛物线y=ax^2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且经过点(2,-3a),对称轴

2.（压轴题）如图，抛物线y=ax^2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，-3a），对称轴是直线x=1，顶点是M.

（1）求抛物线对应的函数关系式.

（2）经过C，M两点作直线，与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B,D重合），经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由.

Answer 1

（1）把点代入函数得到a=1，b=-2；所以函数是y=x2-2x-3
（2）以A，C，N点做平行四边形得到第四个点P坐标分别是（2，-3）；（-2，-3）；（-4，3）如果图上A，B换个位置还有P点坐标是（6，-3）；（-6，-3）；（0，3）代入函数检验，有P点存在，坐标是A在左有点P（2，-3）
（3）圆心始终在函数对称轴上而BD和BC正好是x轴对称。所以始终有AE=AF。三角形AEF是等腰三角形。