怎么证明一个函数是周期函数啊,大概方法

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证:先证f(ax+b)的周期。

∵T*是f(x)的周期,∴f(x±T*)=f(x),有X±T*∈M,以ax+b替换x得,f(ax±T*+b)=f(ax+b),此时ax+b∈M,提取a为公因式得,f[a(x+T*/a)+b]=f(ax+b)∴T*/a是f(ax+b)的周期。

再证是f(ax+b)的最小正周期

假设存在T’/a(0<T’<T*;)是f(ax+b)的周期,则f(a(x+T’/a)+b)=f(ax+b),用x/a-b/a替换x,得f(x+T’)=f(x)

∴T’是f(x)的周期,但 T’<T*这与T*是f(x)的最小正周期矛盾。

∴不存在T’/a(0<T’<T*;)是f(ax+b)的周期,即f(ax+b)的最小正周期为T*/ a。

1.型如f(x+a)=f(x+b)(a≠b)

分析: 用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a(或x-b)来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即 f(x)=f[x+(b-a)]

所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期。

若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)]

所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期。

2.型如f(x)=-f(x+a)(a≠0)

分析: 条件与定义相比多了一个负号,故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换。

得f(x+a)=-f(x+2a),代入原条件等式得f(x)=-[-f(x+2a)]=f(x+2a)

所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期。

3.型如f(x)=1/ f(x+a) (a≠0)

分析: 与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式。将原条件等式中的x用x+a替换得f(x+a)=1/ f(x+2a)代入原等式得f(x)=f(x+2a)

所以f(x)是周期函数,2a是其一个周期。

从以上可发现求周期,主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期。

扩展资料:

事实上,任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。

周期函数的性质 共分以下几个类型:

(1)若T(≠0)是f(x)的周期,则-T也是f(x)的周期。

(2)若T(≠0)是f(x)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期。

(3)若T1与T2都是f(x)的周期,则T1±T2也是f(x)的周期。

(4)若f(x)有最小正周期T*,那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

(5)若T1、T2是f(x)的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(x)不存在最小正周期。

(6)周期函数f(x)的定义域M必定是至少一方无界的集合。

若f(x)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(ax+n)是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数,(其中a、b为常数)。

参考资料:百度百科——周期函数

皮皮鬼0001
推荐于2017-09-12 · 经历曲折坎坷,一生平淡。
皮皮鬼0001
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根据定义当f(x)
满足f(x+T)=f(x)时,
f(x)是周期函数
故只需这存在T使得f(x+T)=f(x)即可,证明该函数是周期函数
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程美媛殳妍
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证明周期函数方法是用定义f(x)=f(x+t),就是要运用换元把复杂的式子中括号里的转化成x和x加上另外一个t,不要管t的表达式子多么复杂,只要是与x无关就可以
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扶雁池卿
2019-01-23 · TA获得超过3.6万个赞
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就是通过代换和化简证明出f(x)=f(x+T)(T不等于0),T就是函数周期。
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帆哥带你手撕数学
2020-10-22
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学会这个技能,快速破解周期函数!

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