Question

初二几何证明题（详细解答）

如图,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交。
（1）求证：FG=½（AB+BC+AC) （½代表二分之一)
（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，如图2；BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，如图（3），则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由。

Answer 1

1）
证明提示：
因为BD平分∠ABM，AM⊥BD
所以可证明△ABF≌△MBF
所以AF＝MF，AB＝BM
所以F是AM的中点
同理，G是AN的中点，AC＝CN
所以FG是△AMN的中位线
所以FG＝MN/2＝（BM＋BC＋CN）/2
所以FG＝（AB＋BC＋AC）/2
2）
图2中，有FG＝（AB＋AC－BC）/2
图3中，有FG＝（AC＋BC－AB）/2
图2结论的证明：
延长AF、AG分别交直线BC于M、N
与1）同理，AB＝BM，AC＝CN，FG＝MN/2
因为MN＝BM－BN＝AB－BN
MN＝CN－CM＝AC－CM
所以2MN＝AB＋AC－（BN＋CM）
＝AB＋AC－（BC－MN）
所以MN＝AB＋AC－AB
所以FG＝（AB＋AC－AB）
图3结论的证明：
延长AF、AG分别交直线BC于M、N
与1）同理，AB＝BM，AC＝CN，FG＝MN/2
则MN＝CM＋CN＝CM＋AC
＝BC－BM＋AC
＝BC－AB＋AC
所以FG＝（AC＋BC－AB）/2

参考资料：http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/ef15970041f2860b728da567.html