Question

如何证明任意两个有理数之间又无穷多个有理数

Answer 1

证明：设这两个有理数为a,b,且a<b.
     构造无穷数列{c(n)}，通项公式为
       c(n)=a+(根号2)*(b-a)/(2^n).
     (1)先证明{c(n)}所有项都在(a,b)内.
        对任意n属于N+,有
          0<1/(2^n)<=1/2.
        又因为 0<根号2<2,
        所以 0<(根号2)/(2^n)<1,
        所以 a<a+(根号2)*(b-a)/(2^n)<b.
        即 c(n)属于(a,b).
        由n的任意性知，{c(n)}所有项都在(a,b)内.
         
     (2)再证明{c(n)}各项不等.
        对任意m,n属于N+,且m不等于n,有
          2^m不等于2^n.
        所以 a+(根号2)*(b-a)/(2^m)不等于a+(根号2)*(b-a)/(2^n).
        由m,n的任意性知，{c(n)}各项不等.

     (3)最后证明{c(n)}所有项都是无理数.
        因为对任意n属于N+，2^n是有理数,
        且 根号2是无理数,b-a不等于0,
        所以 c(n)=a+(根号2)*(b-a)/(2^n) 是无理数.
     
     综上,a,b间有无穷多个无理数
       c(1),c(2),...
     即任意两个有理数之间有无穷多个无理数.