这道高等数学怎么做?求极限

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zhangsonglin_c
高粉答主

2015-10-22 · 醉心答题,欢迎关注
知道大有可为答主
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自然对数,再用洛必达法则
设y=[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)
lny=(1/x)ln((a^x+b^x+c^x)/3,0/0型,分子分母求导
lny->(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/(a^x+b^x+c^x)-->(lna+lnb+lnc)/3=ln(abc)^(1/3)
y-->(abc)^(1/3)

y=(sinx)^tanx
lny=tanxlnsinx=lnsinx/cotx-->(cosx/sinx)/(-1/sin²x)=-sinxcosx=0
y-->1
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啥意思
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kent0607
高粉答主

2015-10-29 · 关注我不会让你失望
知道大有可为答主
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  都和重要极限 e 有关。
  1)记
   f(x) = [(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x),

   lim(x→0)lnf(x)
  = lim(x→0)[ln(a^x+b^x+c^x)-ln3]/x (0/0型,用洛必达法则)
  = lim(x→0)[(a^x)lna+(b^x)lnb+(c^x)lnc)/(a^x+b^x+c^x)
  = (lna+lnb+lnc)/3
  = ln(abc)^(1/3),

   lim(x→0)f(x) = (abc)^(1/3)。

2)记
   g(x) = (sinx)^tanx

   lim(x→π/2)lng(x)
  = lim(x→π/2)tanxlnsinx
  = lim(x→π/2)sinx*lim(x→π/2)(lnsinx/cosx) (0/0)
  = 1*lim(x→π/2)[(cosx/sinx)/(-sinx)]
  = 0,
所以
   lim(x→π/2)g(x) = 1。
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