证明不等式1+1/2^2+1/3^2+…+1/(n+1)^2<(2n+1)/(n+1)
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1/2²<1/1·2=1/1-1/2
1/3²<1/2·3=1/2-1/3
1/4²<1/3·4=1/3-1/4
…… ……
1/(n+1)²<1/n·(n+1)=1/n-1/(n+1)
以上n个式子相加，得
1/2²+1/3²+1/4²+……+1/(n+1)²<1-1/(n+1)=n/(n+1)
∴1+1/2²+1/3²+1/4²<1+n/(n+1)=(2n+1)/(n+1)
故原不等式得证。
1/3²<1/2·3=1/2-1/3
1/4²<1/3·4=1/3-1/4
…… ……
1/(n+1)²<1/n·(n+1)=1/n-1/(n+1)
以上n个式子相加，得
1/2²+1/3²+1/4²+……+1/(n+1)²<1-1/(n+1)=n/(n+1)
∴1+1/2²+1/3²+1/4²<1+n/(n+1)=(2n+1)/(n+1)
故原不等式得证。
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