Question

x/x-1 x→1时的极限 我觉得左右极限不分别是正负无穷么。。可参考书上不是这样

Answer 1

左右极限是分别为正负无穷大，而正负无穷大都是无穷大，所以左右极限都是无穷大，因此这点的极限就是无穷大
即当x→1时，1/（x-1）的极限只能写成是∞，不能写成是-∞（因为右极限不是-∞），也不能写成是+∞（因为左极限是-∞），只能是包含了±∞概念的∞。
对于无穷大，两个无穷大之间无法比较大小。
我们既不能说+∞=-∞，也不能说+∞≠-∞。
同样，我们既不能说+∞=+∞，也不能说+∞≠+∞

任何两个无穷大之间（包括+∞和-∞之间）都无法比较相等还是不相等。
所以虽然当x→1时，1/（x-1）的左右极限分别是-∞和+∞，但是我们不能说左右极限不相等，也不能说左右极限相等。
我们只能根据极限为无穷大的定义，说明左右极限都是∞（+∞和-∞都是∞），所以极限就是∞。

追问

不是两边相等才有极限么？

而且按照书上的后续来看。。大概它说有一边是0

追答

记住一点，极限∞（含极限+∞，极限-∞）是属于极限不存在的一种。
极限不存在有以下几种情况：
1、极限为∞
2、左右极限都存在但是不相等。
3、“等振幅”的无限震荡。
4、对应点的任意去心邻域内，都有无定义的点。等等
以上这些，都是极限不存在的情况。
所以极限无穷大，也属于极限不存在的情况之一。左右极限无穷大（含都是+∞或都是-∞）并不代表左右极限相等。
前面我说了，无穷大之间无法对比相等还是不相等的。
例如函数f（x）=1/x²，当x→0的时候，左右极限都是+∞，所以当x→0的时候，f（x）的极限是+∞。但是我们不能说当x→0的时候，左右极限相等，也不能说左右极限不相等。因为+∞和另一个+∞之间，不存在相等或不相等的关系。