Question

第二型曲线积分，怎么判断曲线的方向？？比如一个圆，角度从0到2pai积分，是正还是负？？

Answer 1

看方向，逆时针就是正的

Answer 2

如果是参数方程的话，逆时针。

Answer 3

高等数学中的第一型曲线积分与第二型曲线积分之间的关系见插图详细分析与推导过程.
顺便补充几个知识点：
1.两类曲面积分之间的联系类似于两类曲线积分之间的联系.
对于平面曲线积分,若曲线闭合,在满足格林公式的条件下,可以转化为闭曲线L所围的平面闭区域D上的二重积分,转化公式请参见高等数学课本.
对于空间曲线积分,若曲线闭合,在满足斯托克斯公式的条件下,可以转化为以闭曲线Γ为边界的曲面积分,转化公式请参见高等数学课本.
在有的时候,空间曲线积分是可以经过化简转化成平面曲线积分,然后再利用格林公式计算,将大大简化计算量.比如说：∫Pdx+Qdy+Rdz,如果曲线Γ为x平方+y平方=9,z=6,那么沿着这个曲线积分,由于z是常数不变,所以dz=0,因此上式∫Pdx+Qdy+Rdz可以转化为：∫Pdx+Qdy,
这样便大大简化了计算量,因为格林公式要比斯托克斯公式形式上简单一些.
2.对于曲面积分,就是曲面的单位法向量n=(cosα,cosβ,cosγ)
第二类曲面积分∫∫Pdx+Qdy+Rdz=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS,其中,dS就是曲面的面积元素.
dS的求法：如果曲面方程为f(x,y,z)=0,曲面投影到yoz面,那么要从曲面方程f(x,y,z)=0中,解出
x对y的偏导数和x对z的偏导数,然后代入dS公式中即可.
曲面法向量的求法：把曲面方程看作是某一个三元函数的梯度,那么求出这个三元函数的梯度,
然后再确定一下曲面的侧,就得到了曲面的法向量,再将其单位化即可.
3,最后要注意的是,在曲线、曲面积分中,一定要将求得的切向量和法向量单位化,才能代入积分式中.还有就是,在求方向导数的时候,向量也必须单位化后,才能带入方向导数的公式中.